Akilles och sköldpaddan

Zenon från Elea lade fram ett antal paradoxer, varav "Akilles och sköldpaddan" är en, och "Tudelningen" en annan, för att bevisa att rörelse är omöjlig. Den snabbfotade Akilles hinner aldrig ifatt den långsamma sköldpaddan, som har ett försprång, eftersom Akilles först måste springa till sköldpaddans utgångspunkt. Då har ju sköldpaddan fått ytterligare ett försprång, även om det är mindre. Detta resonemang kan då upprepas hur många gånger som helst, varför Akilles aldrig hinner kommer att hinna ifatt.

Men det är värre än så: varken Akilles eller sköldpaddan kan inte röra sig alls - de kommer inte ur fläcken, vllket Tudelningsparadoxen visar. Om jag nämligen måste ta mig från punkten A till B (som kan ligga hur nära varandra som helst), så måste jag först ta mig till mittpunkten mellan A och B. Kalla mittpunkten för C! Nu måste jag innan jag kan kommat till B, först till mittpunkten mellan C och B, till D. Det här resonemanget kan fortsättas i all oändlighet, och därför kommer vi aldrig fram till B.

I fortsättningen kommer jag att resonera om tudelningsparadoxen. Men "Akilles och sköldpaddan" kan behandlas på samma sätt (punkten B är då den punkt där Akilles enligt normal aritmetik kommer ifatt sköldpaddan).

Eftersom rörelse uppenbarligen är möjlig, så måste Zenon göra någon form av logiskt felslut. Och eftersom resonemanget är så enkelt, känns det viktigt att upptäcka felet, för hur ska vi annars lita på några logiska resonemang överhuvudtaget? Om det inte går att slå hål på hans bevis, så kanske all rörelse och därmed all förändring verkligen är en illusion. Min världsbild skulle definitivt braka ihop.

Men som tur är så finns det två åtminstone två sätt att besvara Zenons bevisföring. Den första är att ifrågasätta hans premiss, förutsättningen att det går att dela upp en sträcka i oändligt många punkter. Rörelse sker i den fysiska världen och där är det troligt att det faktiskt finns en minsta längd, som inte kan delas upp i mindre enheter. I kvantmekaniken figurerar nämligen den s.k. Plancklängden, som visserligen är väldigt liten - 32 nollor efter decimalkommat i meter räknat - men inte 0.

Den här invändningen är giltig för den fysiska världen, utifrån dagens fysik. Men vi kan inte vara helt säkra på att dagens fysik gäller imorgon. Dessutom skulle man kunna hävda att Zenons resonemang är ett resonemang om linjens egenskaper inom matematiken och då är hanvisningar till fysiken ointressanta.

Man kan som bekant dela upp en linje i ett oändligt antal intervall. Om Zenon upptäckt ett logiskt fel i denna process så omkullkastas så gott som all matematik. Det vore illa för oss som tror att fysiken säger något om verkligheten. All modern fysik använder ju sådan matematik.
Newtons kraftlag är en differentialekvation som förutsätter existensen av "oändligt små" storheter.

Man ser ibland att Zenon avfärdas med att gränsvärdesresonemangen inom matematiken motbevisar honom. Det ligger väl något i det. Men man skulle också kunna se det som att dessa resonemang indirekt accepterar oändlighetens existens men inte låtsas om det. ("För varje epsilon, hur litet det än är, finns det ett delta så att..." som ni kanske minns från gymnasiematematiken.)

Om vi utgår från att paradoxen handlar om matematik, så finns det faktiskt ett logiskt fel i beviset, enligt min mening. Premissen säger att linjen från A till B kan delas upp i ett oändligt antal segment. Observera att vi då talar om linjen i rummet. Men det finns också en motsvarande "linje" i tiden med tidspunkter A' och B'. Slutsatsen säger egentligen bara att det inte finns någon sista punkt före B i denna uppdelning (inte heller i "tidslinjen"). Men det är ju bara ett annat sätt att formulera premissen! (Ordet "aldrig" refererar till tidslinjen.) Om premissen är sann så är slutsatsen sann eftersom det är samma påstående.

Man skulle kunna hävda att ovanstående är ett cirkelbevis, eftersom det förutsätter att vi verkligen "kommer fram" till punkten B i rummet och punkten B' i tiden. Och det är sant. Resonemanget ovan är inte ett logiskt bevis för att rörelse är möjlig - det tror vi på av andra skäl. Vad resonemanget går ut på, är att visa att Zenons bevis inte håller. Att Zenon i princip säger att oändligheten finns men att den inte finns, vilket är orimligt.

Det som gör att paradoxen ändå känns gåtfull är att den handlar om oändligheten. Det är lätt att hålla med om att "för varje punkt kan vi finna en punkt till före B" men det är i princip omöjligt att få en föreställning om alla dessa oändligt antal punkter samtidigt. Aristoteles kommenterade Zenons paradoxer och han tryckte på skillnaden mellan "potentiell" och "aktuell" oändlighet. Den "aktuella", verkliga oändligheten finns inte enligt Aristoteles. Och där är väl många böjda att hålla med honom, i varje fall när det gäller den fysiska verkligheten. I matematiken är den ju däremot accepterad alltsedan Georg Cantors teori om transfinita tal.

Matematiken utgår visserligen från den fysiska verkligheten, men den överskrider den och handlar om ideala, tänkta företeelser, som oändligheten. Det finns matematiker som tror att dessa tänkta företeelser faktiskt existerar i någon sorts platonsk idévärld, eftersom de förefaller så verkliga för dem. Men den där idévärlden tvivlar jag starkt på! Jag resonerade om min "dualistiska" syn på matematiken i ett inlägg 29 januari 2009. Det räckte att reflektera över talet 2 för att komma fram den synen...