Platon

Enligt filosofen Alfred North Whitehead, Bertand Russels lärare, består den västerländska filosofins historia av en samling fotnötter till Platon. Det kan hända, men i så fall gäller det den idealistiska filosofin, inte den materialistiska.

Avsnittet i Axesserien om Platon i "De stora filosoferna" var klargörande som vanligt. Platonexperten höll inte riktigt med Bryan Magees tolkning av Platons berömda idélära, som på engelska kallas "the theory of forms". Magees tolkning var den gängse, att idévärlden är en annan, separat "värld" som innehåller urbilderna för företeelserna i vår skuggvärld, medan det som är konkreta instanser av urbilderna, begreppen, finns i den vanliga världen. Platonexperten såg däremot "ideérna", "formerna" som en sorts prototyper som inte existerar i rum och tid. Men båda synsätten är varianter av idealism, där den förra varianten lättare kan ges en religiös tolkning. En del ser begreppet "det Goda" som Platons Gud.

För materialister är det ganska tydligt att Platon vänder upp och ner på det rätta förhållandet, nämligen att vi abstraherar begreppen från konkreta exempel och inte tvärtom. Enskilda hästar är inte exemplifieringar av begreppet Häst. Vi benämner ett antal djur som liknar varandra till utseende, genetik o.s.v, med samma artnamn. Arten "häst" finns inte i sinnevärlden! (Det är ett påstående som en sofistikerad idealist kan hålla med om, men istället se det som att arten "häst" finns oberoende av alla konkreta hästar. För en simpel materialist är det svårt förstå hur det kan vara möjligt.)

När man läser Platons dialoger som ofta handlar om hur man ska definiera begrepp som "rättvisa", "godhet" o.s.v. Resonemangen bygger underförstått på idéläran, och därför känns de mossiga för mig i alla fall. Aristoteles texter är svåra men känns ändå mycket mer moderna, vilket kan bero på att han förkastade Platons idélära.

Jag blev lite förvånad över att Platonexperten i programmet förklarade att Aristoteles liksom Platon var antimaterialist. Möjligen grundade han det på att Aristoteles inte var anhängare av atomteorin. Skillnaden mellan materialism och idealism får jag nog diskutera i ett kommande inlägg.

Filosofiska rummet från igår handlade om Darwins betydelse idag för samhällsvetenskaperna. Men en filosofisk betydelse är att Darwin demolerade idén om oföränderliga arter, som både Platon och Aristoteles var anhängare av. Platon av filosofiska skäl, Aristoteles troligen som biolog av empiriska skäl.

John Locke och empirismen

TV-kanalen Axess visar återigen sin utmärkta serie om "De stora filosoferna" av Bryan Magee.
I programmet om Locke och Berkeley diskuterade han med Michael Ayers, som övertygande argumenterade för att det är dags att gå tillbaka till John Locke (1632 -1704).

John Locke var den förste store företrädaren för empirismens filosofi, som ser kunskapens källa i sinneserfarenheten, och kritiserade den rationalistiska åsikten att vi skulle ha inneboende ideér vid födseln. I likhet med rationalisten Descartes, som han annars kritiserade, ansåg han att det existerar både medvetande och materia ("mind and matter").

Locke satte sig in i tidens naturvetenskap och påverkade faktiskt Newtons tolkning av hur den nya mekaniken skulle uppfattas filosofiskt. Det tycks som att det är läge att läsa hans huvudverk, "An Essay Concerning Human Understanding"!

Men varför anser Ayers att man ska gå tillbaka till Locke och studera hans skrifter igen? Jo, för att troligen finns det någon defekt i Lockes filosofi. För efter honom kom ju skeptikern David Hume och sedan fortsatte det spåra det ur med en räcka mer eller mindre idealistiska filosofer, Berkeley, Hume, Kant, Fichte, Schelling, Hegel o.s.v. De stora materialisterna lyser tyvärr med sin frånvaro i filosofihistorien efter Locke, möjligen med undantag för Marx med sin materialistiska historieuppfattning (Marx ägnade ju sina krafter nästan helt åt ekonomin och politiken).

En defekt i Lockes tänkande kanske var att han tryckte så hårt på att vi inte har direkt kunskap om tingen - endast indirekt via sinnena och processer i hjärnan. Det ligger då nära till hands att påstå att vi egentligen inte vet något om "tingen-i-sig", som ju var Kants tes. Man kan jämföra med de religiösa personer som bevisar Guds existens genom att hänvisa till de luckor vi f.n. har i vår kunskap om naturfenomen. För varje nytt framsteg inom vetenskaperna får denna "God of the gaps" retirera till ett nytt område. Och på samma sätt skrumpnar "tinget-i-sig" ihop ju mer vi vet om atomerna, elementarpartiklarna och krafterna mellan dem.

Det ska sägas att Bryan Magee höll inte med Ayers i programmet, utan sa sig ha en positivare syn på idealismen än Ayers. Magee räknade också upp ett antal fysiker som påverkats av biskop Berkeleys idealism, bl.a. Ernst Mach och Albert Einstein. Fast det är väl tveksamt om det inflytandet var så positivt - Mach trodde t.ex. inte på atomteorin av filosofiska skäl. (I matematiken tvingade dock Berkeleys fräna kritik fram en förbättring av den s.k. infinitesimalkalkylen.)

(En anmärkning om varför jag ändrat titeln på den här bloggen. Jag upptäckte att "Filosofiska funderingar" redan var upptaget av den finlandssvenske filosofen Hans Rosings intressanta blogg. Jag håller definitivt inte med om allt han skriver...)

Akilles och sköldpaddan

Zenon från Elea lade fram ett antal paradoxer, varav "Akilles och sköldpaddan" är en, och "Tudelningen" en annan, för att bevisa att rörelse är omöjlig. Den snabbfotade Akilles hinner aldrig ifatt den långsamma sköldpaddan, som har ett försprång, eftersom Akilles först måste springa till sköldpaddans utgångspunkt. Då har ju sköldpaddan fått ytterligare ett försprång, även om det är mindre. Detta resonemang kan då upprepas hur många gånger som helst, varför Akilles aldrig hinner kommer att hinna ifatt.

Men det är värre än så: varken Akilles eller sköldpaddan kan inte röra sig alls - de kommer inte ur fläcken, vllket Tudelningsparadoxen visar. Om jag nämligen måste ta mig från punkten A till B (som kan ligga hur nära varandra som helst), så måste jag först ta mig till mittpunkten mellan A och B. Kalla mittpunkten för C! Nu måste jag innan jag kan kommat till B, först till mittpunkten mellan C och B, till D. Det här resonemanget kan fortsättas i all oändlighet, och därför kommer vi aldrig fram till B.

I fortsättningen kommer jag att resonera om tudelningsparadoxen. Men "Akilles och sköldpaddan" kan behandlas på samma sätt (punkten B är då den punkt där Akilles enligt normal aritmetik kommer ifatt sköldpaddan).

Eftersom rörelse uppenbarligen är möjlig, så måste Zenon göra någon form av logiskt felslut. Och eftersom resonemanget är så enkelt, känns det viktigt att upptäcka felet, för hur ska vi annars lita på några logiska resonemang överhuvudtaget? Om det inte går att slå hål på hans bevis, så kanske all rörelse och därmed all förändring verkligen är en illusion. Min världsbild skulle definitivt braka ihop.

Men som tur är så finns det två åtminstone två sätt att besvara Zenons bevisföring. Den första är att ifrågasätta hans premiss, förutsättningen att det går att dela upp en sträcka i oändligt många punkter. Rörelse sker i den fysiska världen och där är det troligt att det faktiskt finns en minsta längd, som inte kan delas upp i mindre enheter. I kvantmekaniken figurerar nämligen den s.k. Plancklängden, som visserligen är väldigt liten - 32 nollor efter decimalkommat i meter räknat - men inte 0.

Den här invändningen är giltig för den fysiska världen, utifrån dagens fysik. Men vi kan inte vara helt säkra på att dagens fysik gäller imorgon. Dessutom skulle man kunna hävda att Zenons resonemang är ett resonemang om linjens egenskaper inom matematiken och då är hanvisningar till fysiken ointressanta.

Man kan som bekant dela upp en linje i ett oändligt antal intervall. Om Zenon upptäckt ett logiskt fel i denna process så omkullkastas så gott som all matematik. Det vore illa för oss som tror att fysiken säger något om verkligheten. All modern fysik använder ju sådan matematik.
Newtons kraftlag är en differentialekvation som förutsätter existensen av "oändligt små" storheter.

Man ser ibland att Zenon avfärdas med att gränsvärdesresonemangen inom matematiken motbevisar honom. Det ligger väl något i det. Men man skulle också kunna se det som att dessa resonemang indirekt accepterar oändlighetens existens men inte låtsas om det. ("För varje epsilon, hur litet det än är, finns det ett delta så att..." som ni kanske minns från gymnasiematematiken.)

Om vi utgår från att paradoxen handlar om matematik, så finns det faktiskt ett logiskt fel i beviset, enligt min mening. Premissen säger att linjen från A till B kan delas upp i ett oändligt antal segment. Observera att vi då talar om linjen i rummet. Men det finns också en motsvarande "linje" i tiden med tidspunkter A' och B'. Slutsatsen säger egentligen bara att det inte finns någon sista punkt före B i denna uppdelning (inte heller i "tidslinjen"). Men det är ju bara ett annat sätt att formulera premissen! (Ordet "aldrig" refererar till tidslinjen.) Om premissen är sann så är slutsatsen sann eftersom det är samma påstående.

Man skulle kunna hävda att ovanstående är ett cirkelbevis, eftersom det förutsätter att vi verkligen "kommer fram" till punkten B i rummet och punkten B' i tiden. Och det är sant. Resonemanget ovan är inte ett logiskt bevis för att rörelse är möjlig - det tror vi på av andra skäl. Vad resonemanget går ut på, är att visa att Zenons bevis inte håller. Att Zenon i princip säger att oändligheten finns men att den inte finns, vilket är orimligt.

Det som gör att paradoxen ändå känns gåtfull är att den handlar om oändligheten. Det är lätt att hålla med om att "för varje punkt kan vi finna en punkt till före B" men det är i princip omöjligt att få en föreställning om alla dessa oändligt antal punkter samtidigt. Aristoteles kommenterade Zenons paradoxer och han tryckte på skillnaden mellan "potentiell" och "aktuell" oändlighet. Den "aktuella", verkliga oändligheten finns inte enligt Aristoteles. Och där är väl många böjda att hålla med honom, i varje fall när det gäller den fysiska verkligheten. I matematiken är den ju däremot accepterad alltsedan Georg Cantors teori om transfinita tal.

Matematiken utgår visserligen från den fysiska verkligheten, men den överskrider den och handlar om ideala, tänkta företeelser, som oändligheten. Det finns matematiker som tror att dessa tänkta företeelser faktiskt existerar i någon sorts platonsk idévärld, eftersom de förefaller så verkliga för dem. Men den där idévärlden tvivlar jag starkt på! Jag resonerade om min "dualistiska" syn på matematiken i ett inlägg 29 januari 2009. Det räckte att reflektera över talet 2 för att komma fram den synen...

Christopher Jacob Boström och kakelugnen

Den gamla anekdoten om Boström i förra inlägget visade sig ha mer filosofiskt klös än jag anade. Jag såg ju framför mig den dråpliga situationen när den late eller okunnige kandidaten tror sig ha fått en enkel fråga och blir kuggad till sin förvåning.

Men det blir kanske lite mer allvarligt, om man istället föreställer sig de kandidater som svarar rätt för att han vet vad professorn vill ha för svar. Anekdoten belyser, skulle man kunna påstå, hur de blivande ämbetsmännen i det oscarianska Sverige blir inskolade i det offentliga hyckleriet.

En tredje tolkning vore att Boström var en utpräglat hederlig filosof, som inte förstod att skyla över konsekvenserna av sin idealistiska filosofi.

Boström är kanske den mest kände svenske filosofen, och dominerade den svenska scenen under 1800-talet. Artikeln om honom på wikipedia är tyvärr hämtad från Nordisk Familjebok, och ganska komisk i sin gammeldags nationalism. Här skulle kanske Sara Heinämaa göra en insats och uppdatera...

Boström var enligt artikeln politiskt konservativ och motståndare till ståndsriksdagens upphävande. Men han var modig för sin tid genom att ta avstånd från både den kristna helvetesläran och treenighetsläran. Så kanske man lite överraskande skulle kunna se honom som en föregångare till Ingemar Hedenius och dennes berömda kristendomskritik!

Sara Heinämaa föreslås bli professor i filosofi

Det har blivit akademiskt bråk om förslaget till professor i teoretisk filosofi i Uppsala. Sara Heinämaa som är föreslagen, arbetar inom den kontinentala traditionen, inte den analytiska som varit dominerande i Sverige och de anglosaxiska länderna. Dessutom har hon intresserat sig för feminism, och skrivit om Simone de Beavoir som filosofisk tänkare. Hur vore det om de som protesterar kunde vara visa lite mer filosofisk nyfikenhet mot andra idee´r?

Egentligen är det lite konstigt att man brukar bunta ihop filosofer i dessa två riktningar, för inbördes är de oerhört oense inom båda lägren. Det är väl mest vilka områden man intresserar sig för som skiljer, grovt uttryckt de existentiella frågorna på kontinenten och logik, språk och vetenskapsteori inom den analytiska filosofin. Båda dessa ämnesområden är mycket intressanta. Men förra tenderar att skriva dunkelt och illa, medan de senare ofta gräver ner sig i hårklyverier - usch, nu var jag elak...

Vi hade en "kontinental" filosof av den idealistiska skolan i Uppsala på 1800-talet, Boström. Det finns ju en rolig historia om honom: som kuggfråga brukade han fråga sina studenter, "säg kandidaten, finns kakelugnen inuti eller utanför kandidaten?". Om studenten svarade "utanför" så blev han kuggad ögonaböj...

Den absoluta vissheten

Det är mänskligt att vilja vara 100 % säker på någonting. Men också lite barnsligt! Det borde väl räcka med 99 %.

Det är tänkbart att världen uppstod 1 sekund sedan, inklusive alla våra minnen och spår av tidigare existens. Vi kan inte vara helt säkra på att det inte är så, men de flesta tycker nog att denna ide är för vild och osannolik. Fast en liknande ide omfattas ju av en del kreationister i USA, att världen skapades för 6000 år sedan precis som det står i Gamla Testamentet. Och att anledningen till att vi hittat fossil av dinosaurier som är 50 miljoner år gamla är att Gud av någon anledning placerade ut sådana så att det skulle se ut som om det levat dinosaurier på jorden. Om någon tror tillräckligt mycket på denna osannolika teori, så går det förstås inte överbevisa honom med några argument.

Den här omöjliga längtan efter absolut visshet har omfattats av ganska många filosofer, tror jag. (Medan andra tycks ha drivits av en lust att riva ner förtroendet för allt vi anser oss veta.)

De stora metafysiska systemen beror antagligen på denna psykologiska strävan efter det Absoluta. Husserl tror jag är ett exempel på detta fenomen, även om ansåg att han inte sysslade med metafysik. I denna artikel beskrivs hur han i början av sin karriär ser psykologiska faktorer i logikens uppkomst, men efter kritik förkastar "psykologismen" och menar att logiken uttrycker absoluta sanningar och därför inte får besmittas av psykologi. Den fenomenologiska metoden att betrakata fenomen, det som "framträder", tycks sedan motiveras av sökandet efter Vetenskaplig visshet.

Vi kan förstås vara säkra på att vi ser ett bord när vi ser ett bord, men vi kan inte vara helt säkra på att det är ett bord - vi kan ju drömma t.ex.! Men den intressanta frågan om bordet finns där, går fenomenologen bekvämt förbi genom att sätta frågan "inom parentes". Vissheten vinns på bekostnad av relevansen (var fick jag den formuleringen ifrån...).

Atomer och tomrum igen

Jag blev nog inte riktigt övertygad själv av mitt förra inlägg om att vardagsföreställningen om massiva bord respektive atomer som mest består av tomrum, är förenliga med varandra. Så jag försöker med ytterligare argument.

När vardagsförståndet betraktar ett bord, så accepterar det att det inte kan se det inre av bordet. Det krävs att man med hjälp av ett verktyg skär sönder bordet för att se hur det ser ut inuti. För att se beståndsdelarna, atomerna, krävs mer avancerade instrument, elektronmikroskop. Och för att konstatera att atomerna består av till största delen tomrum, så får man som Rutherford skicka in alfapartiklar mot dem, för att upptäcka att de flesta går rakt igenom, med några få studsar tillbaka. Bordet är både massivt och fullt med tomrum, men på olika storleksnivåer. I vardagslag behöver vi inte bry oss om den mikroskopiska strukturen. Samma resonemang gäller när vi går ner på nivåerna under atomerna, kvarkar och elektroner, därunder eventuellt supersträngar, och under dem eventuellt slingorna som slingkvantgravitationsteorin teoretiser om.

Jonna har förresten kommenterat mitt inlägg om Husserl från 4 februari. Och jag har svarat, men misstänker att vi inte kommer längre för närvarande. I följande artikel på Wikipedia, omnämns John Searles kritik av fenomenologin för att lida av den "fenomenologiska illusionen". Hans kritik påminner om mina spontana invändningar mot fenomenologin.

Skepticism

Våra sinnen är inte perfekta. Det visar t.ex. de psykologiska illusionerna, som till exempel att månen ser större ut vid horisonten än högt uppe på himlen.

Vi vet ju också att hundar hör fler toner än vi människor. Våra sinnen är alltså begränsade - de uppfattar inte allt som finns "där ute".

Den skeptiska filosofin har sedan antiken utnyttjat den här typen av illusioner för att få oss att tvivla på allt vi uppfattar med sinnena. Men de flesta liksom jag, låter sig inte övertygas av sådana argument. Våra sinnen är inte perfekta men i stort sett stämmer de. Vi har dessutom skaffat oss "utvidgade sinnen" i form av mikroskop, teleskop och andra instrument med vilka vi har kraftigt utvidgat vårt vetande om världen.

En sak fysikerna lyckades bevisa så sent som i början av 1900-talet, var att materien består av atomer (bl.a. Einstein med sin förklaring av den brownska rörelsen) och att dessa består till större delen av tomrum (Rutherford). Det kan då ligga nära till hands att i skeptisk anda dra slutsatsen att den värld vi uppfattar med sinnena endast är en illusion. Att bord och stolar "egentligen" inte är bord och stolar utan oräkneliga små osynliga atomer bestående av nästan bara tomrum. Men inte nog med det, partiklarna i atomerna, är inte materiella utan vibrerande energivågor som inte finns på en bestämd plats i rummet, utan utsmetade i det, knappt existerande innan de observeras.

Det finns flera intressanta tolkningar av hur vår makroskopiska vardagsvärld är kopplad till den märkliga mikroskopiska värld som beskrivs av kvantmekaniken. Men ingen av dessa tolkningar menar såvitt jag vet att vår vardagsvärld skulle vara en total psykologisk illusion. Vi behöver inte tvivla på att bord och stolar finns och att de har de egenskaper de har i vår makroskopiska skala.

Kan vi lita på våra sinnen?

Det är en vanlig åsikt inom filosofin är att all kunskap ytterst härrör från våra sinnen. Det brukar kallas empirism, och jag ansluter mig utan vidare till den...

Alternativet kallas rationalism, att det är Förnuftet som inser sanningarna om världen, speciellt områden som logik och matematik. Men förr i tiden fanns det filosofer som tänkte ut metafysiska system, som förmodades förklara allt, utan hänsyn till de empiriska vetenskaperna. Dessa filosofer är numera ganska misskrediterade, men de hade ändå en poäng i att vårt tänkande spelar en viktig roll för våra kunskaper om världen. Det räcker inte med sinnesintryck - vi måste bearbeta dem med våra tankar.

Empiristerna från 1600- och framåt hade dessutom fel i många av sina detaljpåståenden. De trodde t.ex. att vi inte ser föremål, utan enskilda sinnesförnimmelser, t.ex. färgfläckar, som på något sätt förknippas med varandra och uppfattas som helheter. Det ironiska är att empiristen då beter sig snarare som en rationalist, och analyserar vår upplevelse, dvs plockar sönder den i sina beståndsdelar. Och missar att perceptionen av föremål, som det kallas inom psykologin, kan förklaras genom framsteg inom hjärnforskningen, inte genom filosofiska spekulationer.

Naturvetenskaperna har utgått från sinneserfarenheterna när de utformat teorierna som lärt oss så ofantligt mycket om världens fysiska beskaffenhet. Men dessa teorier tycks ofta strida mot vad våra sinnen säger oss. En känsla av svindel kan lätt infinna sig. Ingenting verkar vara som vår vardagserfarenhet säger oss. Bordet som ser så massivt ut, sägs t.ex. till allra största delen bestå av tomrum. Hur går det ihop? Mer om detta i nästa inlägg!

Kaffe och filosofi

Jag var för först gången igår på ett filosofikafé. Den främsta anledningen till att jag gick dit var att Jonna Bornemark skulle presentera Edmund Husserls filosofi, som jag försökt begripa, men aldrig lyckats förstå. Här följer min tolkning av Jonna Bornemarks tolkning av Husserls s.k. fenomenologi.

Husserl ser sig som vetenskapsman, men är originell genom att anlägga ett "förstapersonperspektiv" på allt (och glider därigenom elegant undan de metafysiska frågorna om jaget och medvetandet). Han beskriver hur världen ter sig för oss, fenomenen, och "sätter en parentes" kring de filosofiska frågorna om verklighetens natur.

Han intresseområde var humanvetenskaperna, där han haft ett stort inflytande. (Och förmodligen är väl hans tänkande mer tillämpbart där än i naturvetenskaperna, där "förstapersonperspektivet" hålls kort.)

Under en senare fas av sin filosofiska utveckling ägnade sig Husserl åt att undersöka relationerna mellan olika individers upplevelse av världen.

Det jag ställer mig skeptisk till är dels hans program, att en noggrann beskrivning av hur jag uppfattar världen, egentligen kan tillföra så mycket jämfört med vad de empiriska vetenskaperna kan komma fram till. Dels har jag en känsla av att när man börjar jämföra sina egna upplevelser med andras, då har man redan tagit ställning i väsentliga filosofiska frågor. Exempelvis att det finns något verkligt utanför mig själv, och att de också,om de är människor, har "medvetanden". Varför inte erkänna det då? Men jag kanske har missuppfattat hans filosofi ändå...

För övrigt var filosofikaféet en trevlig form av samtal där enighet inte är målet utan dialogen. Lustigt nog rörde sig samtalet ganska mycket om objektiviteten hos två koppar på bordet och talet två (se mina två tidigare inlägg om talens existens).

Det blir säkert fler besök för min del. Här hittar man http://www.filosoficafe.se vårens program.

Människan är ett abstraherande djur

Upptäcker vi talen eller skapar vi dem? Jag tror att det handlar om både och. Även här gäller den förhatliga dualismen mellan fysiskt och mentalt, som jag nämnde i förra inlägget.

Antag att vi påstår att det finns 12 pennor på bordet. Pennorna finns fysiskt där, men antalet av dem fastställer vi genom att vi väljer att betrakta just dem, mentalt drar vi liksom en linje runt dem. Vi bortser, när vi gör detta, från att det handlar om pennor. Samma operation fungerar ju lika bra för radergummin.

Ett "naturligt tal", 0, 1, 2 o.sv. betecknar ett antal objekt. Ett antal är en kombination av något fysiskt och vad vi mentalt abstraherar från det fysiska. Ganska snart lär vi oss att tala om antal utan att tänka på vad det är antal av för objekt. Och filosofer kan grubbla över frågan om talet 2 existerar och i så fall var.

Den mänskliga tanken när den släpps lös har en tendens att gå utöver den fysiska verkligheten. Antag att vi vet hur många objekt det finns i världen. Vi kan med lätthet tänka oss det finns ytterligare ett. Då har vi skapat ett tal som inte motsvarar något verkligt. "Finns" det talet? Ja, mentalt finns det ju på något sätt. Och man kan fortsätta resonemanget. Tänk på ett stort tal. Då är detta tal plus ett ännu större. Alltså finns det inget största tal. Det här kallas för oändligheten, och då har vi definitivt lämnat den fysiska världen.

En ide som utarbetades i stor detalj av Bertrand Russel och Alfred North Whitehead, var att de naturliga talen, definieras av mängder. Alla mängder som kan paras ihop med tre äpplen motsvarar talet 3. Men vad är en mängd? Det krävs en mental operation som pekar ut vilka objekt som hör till den speciella mängden. Men när det mänskliga sinnet börjar abstrahera från verkligheten så gäller det att ha tungan rätt i mun. Russel upptäckte en mängd som till hans förtvivlan visade sig vara självmotsägande: mängden av alla mängder som inte är element i sig själva. Mängder får alltså inte definieras hur som helst. Att bygga matematiken på mängdläran, en del av logiken, hjälpte knappast förståelsen av den. (Och inte heller skolbarnen att räkna, när någon kuf på Skolöverstyrelsen införde mängdläran i skolorna.)